米勒圆最大张角定理（又称米勒外切定理）是几何学中一个重要的定理，主要用于解决与圆和直线相关角度最值问题。其核心结论和证明方法如下：

一、定理内容

已知：在平面内，固定两点$A$、$B$位于射线$ON$上，动点$P$在射线$OM$上运动。 结论：当且仅当$\triangle ABP$的外接圆与射线$OM$相切于点$P$时，$\angle APB$达到最大值。

二、几何解释

圆周角与外角关系

根据圆周角定理，$\angle APB$是弧$AB$所对的圆周角，而$\angle ACB$（$C$为圆上另一点）是同弧所对的圆外角。由圆外角性质可知，$\angle ACB > \angle APB$。因此，当$P$点位于切点时，$\angle APB$最大。

切点唯一性

若存在两个不同切点$P_1$和$P_2$，则$\triangle AP_1B$和$\triangle AP_2B$的外接圆均与$OM$相切，这与外接圆唯一性矛盾。因此，切点$P$是唯一的。

三、证明方法（以$\triangle ABC$为例）

构造外接圆

设$\triangle ABP$的外接圆与$OM$相切于点$P$，连接$AP$、$BP$，并过$A$、$B$作圆与$OM$相切于点$C'$。2. 角度关系证明

$\angle APB$是弧$AB$所对的圆周角，$\angle ACB$是同弧所对的圆外角，根据圆外角性质，$\angle ACB > \angle APB$。 - 对于$OM$上任意其他点$P'$，$\angle AP'B$是$\triangle CP'B$的外角，同样有$\angle AP'B > \angle APB$。 - 因此，当且仅当$P$为切点时，$\angle APB$最大。

四、应用示例

足球门场景：

球门宽$AB=5$米，球员在距$B$点5米的$C$点沿$AC$成$45°$角带球。根据米勒定理，当球员的切点$P$满足$APB$的外接圆与$AC$相切时，$\angle APB$最大，此时球员的视线角度最优。

五、扩展应用

该定理可推广至更高维度空间，例如在圆锥曲线上寻找最大角度问题，但证明方法需结合微分几何等高级工具。

通过米勒圆最大张角定理，可以高效解决涉及圆与直线相切的最值问题，是中学几何和高中解析几何的重要工具。