曼哈顿距离，也称为城市街区距离或出租车距离，是一种在几何空间中测量两点之间距离的度量方式。它表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和。在二维空间中，曼哈顿距离可以理解为从一个点到另一个点只能沿着水平或垂直方向行走的最小距离，即在各坐标轴方向上距离的总和。

曼哈顿距离的计算公式如下：

\[ d（i,j） = |x_i - x_j| + |y_i - y_j| \]

其中，\（ （x_i, y_i） \） 和 \（ （x_j, y_j） \） 分别表示两个点的坐标。

示例

假设我们有两个二维空间中的点 \（ A（1, 2） \） 和 \（ B（4, 6） \），我们要计算它们之间的曼哈顿距离。

1. 计算两个点在横坐标和纵坐标上的差异：

横坐标差异：\（ |1 - 4| = 3 \）

纵坐标差异：\（ |2 - 6| = 4 \）

2. 将两个差异相加得到曼哈顿距离：

\[ \text{曼哈顿距离} = 3 + 4 = 7 \]

因此，点 \（ A（1, 2） \） 和点 \（ B（4, 6） \） 之间的曼哈顿距离为 7。

高维空间

对于在 \（ n \） 维空间中的两个点，曼哈顿距离可以通过以下公式计算得出：

\[ d（i,j） = \sum_{k=1}^{n} |x_{ik} - x_{jk}| \]

其中，\（ x_{ik} \） 和 \（ x_{jk} \） 分别表示第 \（ i \） 个点和第 \（ j \） 个点在 \（ k \） 维度上的坐标。

应用

曼哈顿距离在许多领域都有广泛应用，例如：

计算机视觉：在图像处理和计算机视觉中，曼哈顿距离常用于目标跟踪和图像匹配。

数据挖掘：在聚类分析和模式识别中，曼哈顿距离用于衡量数据点之间的相似性。

城市规划：在城市规划中，曼哈顿距离用于计算城市道路和交通网络中的最短路径。

总结

曼哈顿距离是一种简单且直观的距离度量方法，适用于多维空间中的点距离计算。它在许多实际应用中都非常有用，特别是在需要考虑水平和垂直方向移动的场景中。