关于n次方和公式，根据应用场景和n的奇偶性，存在不同的表达式。以下是主要结论：

一、n次方和公式

等比数列求和公式

若数列以$a_1$为首项，公比为$a$，则前n项和为：

$$S_n = \frac{a_1(1 - a^n)}{1 - a} = \frac{a(a^n - 1)}{a - 1} \quad (a \neq 1)$$

该公式适用于公比$a \neq 1$的情况。

特殊形式公式

- 当$n=2$时，平方和公式为：

$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$

- 当$n=3$时，立方和公式为：

$$1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \left[\frac{n(n + 1)}{2}\right]^2$$

- 当$n$为奇数时，n次方和公式为：

$$1^n + 2^n + \cdots + n^n = \frac{(n+1)(1-a^n)}{1-a} \quad (a \neq 1)$$

- 当$n$为偶数时，n次方和公式为：

$$1^n + 2^n + \cdots + n^n = \frac{n(1+a^n)}{2(1-a)} \quad (a \neq 1)$$。

二、n次方差公式（差分形式）

$$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \quad (n \in \mathbb{N}^*)$$

该公式用于计算两个数的n次方差，可通过多项式乘法展开验证。

三、注意事项

1. 公式推导通常基于等比数列求和公式，需注意公比$a \neq 1$的限制。

2. 实际应用中，若$a=1$，则数列退化为等差数列，需单独处理。

3. 对于高次方和，公式较为复杂，建议结合数学软件验证。

以上公式适用于正整数n，且$a \neq 1$的情况。若需计算具体数值，可代入公式计算。