根据汉语语法规范，“开开心心地回家”中的“地”是正确的选择。以下是具体分析：

一、"的"与"地"的用法区别

"的"的用法

- 作定语，修饰名词：

*敬爱的总理*（修饰"总理"）

*戴帽子的男孩*（修饰"男孩"）

- 代替人或物：

*扔砖的*（代替"你"）

- 表示所属关系：

*我的拙劣表现*（"的"引出所属）

- 句末语气词：

*我挨的砖头是你扔的*（与"是"呼应）

"地"的用法

- 作状语，修饰动词：

*快乐地唱歌*（修饰"唱歌"）

*高高兴兴地回家*（修饰"回家"）

- 动词后接副词：

*跑得快*（"得"作后置定语）

二、"开开心心"的词性

"开开心心"是叠词，属于副词性短语，表示情感状态。根据语法规则，副词应置于动词之前，因此需用"地"来连接。

三、错误用法分析

错误：

开开心心的回家了（应为"开开心心地回家了"）

原因："回家"是动词，需用副词"地"修饰，而"的"用于名词前

四、补充说明

口语与书面语：口语中"的"和"地"发音可能相近，但书面语需严格区分

结构特点："地"通过"提土旁+助词"结构，与动词形成状动关系，如"跑得快"中的"地"

综上，"开开心心地回家"符合汉语语法规则，而"白勺的"是错误用法。